「p 年に一度の大地震」

id:flalin:20110325:1301023046 の続き．「『10年に1度の大地震』は『20年に1度の大地震』を含むのであって，後者を数えるのは重複である」という指摘を受けた．どうなんだろう？ とりあえずそれを認めるとして，すると（とりあえず離散で考えると）考慮すべきは

• 10年に1度の地震，
• 11年に1度の地震，
• 12年に1度の地震，...，
• 19年に1度の地震，
• （20年に1度の地震を除いて）21年に1度の地震，
• （22年に1度の地震を除いて）23年に1度の地震，...

となる．要するに p を素数として，「p 年に1度の地震」を（頭の方の有限個を除き）全て考えればよい．そうなると，「（頭の方の有限個を除いた）p 年に1度の地震全てのうちいずれかが今年に起きる回数の期待値」は，
= ... (1)
と計算すればよい．ところで（ちょっとググると見つかることだが）素数の逆数の和 (Σ 1/p) は発散することが知られている：

• jawp:"素数 > 素数の逆数和"
• http://www.junko-k.com/cthema/17sosuu.htm Weekend Mathematics／コロキウム室／テーマ別 ／17.素数の逆数の総和
  • こちらの証明は危うい操作をしているようなしてないような...

すると Eqn. (1) は， +∞ - 1.176... = +∞ に発散する．対数発散ほど直感的な振る舞いをしないのが残念だが．
さて連続版はと言うと，これは私にはちょっと分からないぞ．区間 [0..1] も，そいつを含む区間 [0..10] も，等しい「連続の濃度」を持つことが知られている．
それと「地球の歴史の都合上，例えば『100億年に1度の地震』を考えるのはおかしいから，和は有限個で止まる」という意見もあった．しかし，そうすると地球の年齢というパラメタが「今年に起きる地震の回数の期待値」に入ってしまう．それは直感的におかしいと思うのでこの意見は退けたいんだが，どうだろうか...